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極限 n→∞ x^n

n は自然数とする.

  • 1<x のとき, lim n x n = +  ・・・・・・(1)
  • x=1 のとき, lim n x n = 1 ・・・・・・(2)
  • 1<x<1 のとき, lim n x n =0  ・・・・・・(3)
  • x1 のとき, lim n x n =振動する ・・・・・・(4)

■証明

1<x のとき

x=1+y y>0 とおく.二項定理より

x n = 1+y n

= C 0 n 1 n y 0 + C 1 n 1 n 1 y 1 + C 2 n 1 n 2 y 2 + + C n n 1 0 y n

=1+ny+ n n1 2 ++ y n

>1+ny

となる.

y y>0 のある値であるため

n のとき, ny

したがって

lim n x n > lim n 1+ny =

ゆえに

lim n x n =

となる.

x=1 のとき

1 n =1 より

lim n x n = 1

となる.

1<x<1 のとき

x= 1 z とおく.

z >1 より

lim n z n =

となる.よって

lim n x n = lim n 1 z n = lim n 1 z n =0

したがって

lim n x n =0

となる.

x1 のとき

x n = 1 n x n

よって, n の値が1増すごとに x n の符号が入れかわる.

したがって

lim n x n =振動する

ことになる.

 

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最終更新日 2024年2月9日

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